Веревочный многоугольник

в

ВЕРЕВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК (Вapиньонa) имеет большое применение в графических расчетах. При помощи его решают все задачи, относящиеся к равновесию сил на плоскости, проводят построения деформаций систем и т. д. Когда к точке А приложено несколько сил 1, 2, 3, 4 (фиг. 1, А), то равнодействующую этих сил получим, если мы найдем сначала равнодействующую R1 сил 1 и 2, затем сложим ее с силой 3 и, получив тем же способом равнодействующую сил R1 и 3, равную R2, сложим ее с силой 4.

Веревочный многоугольник

Последняя равнодействующая R и будет равнодействующей всех данных сил. К тому же результату придем, если данные силы 1, 2, 3 и 4 последовательно перенесем в плоскости параллельно самим себе и составим из них многоугольник abcde (фиг. 1, Б), в котором стрелки сил по его периметру были бы направлены в одну сторону - по направлению движения часовой стрелки или противоположно ему. Тогда вектор ае, соединяющий начальную и конечную точки такого многоугольника сил (называемого силовым многоугольником, или планом сил), представит собой искомую равнодействующую R по ее величине и направлению. Порядок, в котором соединяются данные силы при построении многоугольника сил, не имеет влияния на окончательный результат: при любом порядке собирания сил получаем ту же по величине и направлению равнодействующую. Если силы, приложенные к точке А, образуют в плане сил замкнутый многоугольник, то равнодействующая их R= 0, и силы взаимно уравновешиваются. Когда данные силы приложены к различным точкам плоскости и не имеют общей точки пересечения, то определение равнодействующей этих сил можно сделать путем последовательного сложения их по правилу параллелограмма, как показано на фиг. 2.

Веревочный многоугольник

Но этот способ оказывается неудобным для определения положения равнодействующей, если силы пересекаются под очень острыми углами или вне пределов чертежа, и вовсе неприменим, когда силы параллельны между собой.

Самым общим приемом сложения сил является сложение их при помощи построения веревочного многоугольника. Пусть даны силы 1, 2, 3 и 4, приложенные к разным точкам плоскости (фиг. 3, А). Требуется найти величину и положение уравновешивающей Q этих сил. Данные силы соединяем в многоугольник сил (фиг. 3, Б) и из него находим величину и направление уравновешивающей силы ea = Q (перемена направления силы Q делает ее из уравновешивающей-равнодействующей заданных сил 1, 2, 3 и 4). Выбираем произвольную точку О (называемую полюсом), проводим из нее к вершинам многоугольника сил лучи Оа, Оb, Ос, ... и строим многоугольник I, II, III, IV и V (фиг. 3, А), начиная от произвольной точки А по направлению силы 1, т. о., чтобы одноименные прямые на фиг. 3, Б (план сил) и на фиг. 3, А (поле сил) были между собой параллельны.

Веревочный многоугольник

Прямые I, II, III, IV и V на фиг. 3, Б (называемые полюсными лучами) можно рассматривать как силы, которые уравновешивают данные силы. Так, из рассмотрения замкнутого треугольника сил Оаb (фиг. 3, Б) следует, что силы Оа и Оb уравновешивают силу 1. Точно так же Оb и Ос уравновешивают силу 2, и т. д. Тогда, взамен нахождения положения уравновешивающей силы Q заданных сил, можно отыскивать положение равнодействующей тех сил, которые уравновешивают заданные силы, что, очевидно, одно и то же. Но силы II и II у точек А и В, а также силы III и III у точек В и С и силы IV и IV у точек С и D, взаимно уничтожают друг друга (фиг. 3, А). Остается, т. о., найти равнодействующую сил I и V, приложенных к точкам А и D. Эта равнодействующая, по положению, определяется пересечением сил I и V в точке Е. Ряд прямых I, II, III, IV и V (фиг. 3, А) образует так называемый веревочный многоугольник.

Веревочный многоугольник

При построении веревочного многоугольника могут встретиться три случая: 1) конечная точка силового многоугольника е не совпадает с начальной его точкой а; в результате данные силы не находятся в равновесии, их равнодействующая определяется по величине и направлению отрезком еа (фиг. 3, Б); 2) конечная точка силового многоугольника совпадает с начальной его точкой, и крайние стороны веревочного многоугольника параллельны между собой; в результате данные силы приводятся к паре сил, как показано на фиг. 4, где а есть плечо пары, а произведение Iа или Va = M - момент этой пары; 3) конечная точка силового многоугольника а совпадает с начальной его точкой, и крайние стороны веревочного многоугольника (I и V) совпадают между собой (силовой и веревочный многоугольники сами собой замыкаются); в результате получается равновесие системы (фиг. 5).

Веревочный многоугольник

При помощи веревочного многоугольника задача о разложении заданной силы Р (фиг. 6) на две параллельные ей составляющие А и В, данные по своему положению, решается просто.

Веревочный многоугольник

Отложив в плане сил силу Р, выбрав произвольно полюс О и проведя лучи I и III, проводим их и в поле сил, начав с произвольной точки S на направлении силы Р. Прямая АВ даст тогда направление второго луча, при помощи которого, проведя из полюса О прямую OS, параллельную АВ, разделим заданную силу Р на две искомые составляющие А и В. Подобным же образом можно решить и обратную задачу, встречающуюся при определении реакций опор балок: найти две параллельные, данные по положению силы А и В, которые находились бы в равновесии с двумя другими данными параллельными силами P1 и Р2 (фиг. 7).

Веревочный многоугольник

Строим для этих сил план сил, берем точку О за полюс и строим веревочный многоугольник, начав его со второго луча на направлении реакции А. Так как при равновесии веревочный многоугольник, равно как и силовой, должны быть замкнутыми, то искомые лучи I и V должны сливаться, а потому направление их определяется направлением замыкающей прямой аb. Проведя из полюса О прямую Os, параллельную аb, определяем реакцию А (как отрезок между лучами I и II) и реакцию В (как отрезок между лучами IV и V).

Веревочный многоугольник обладает тремя степенями свободы при своем построении, так как полюс О выбирается произвольно (т. е. произвольными являются две координаты, для полюса - две степени); кроме того в поле сил построение веревочного многоугольника начинается с любой точки на заданном направлении 1-й силы (еще одна степень свободы), изменение полюса влечет за собой изменение контура веревочного многоугольника, но все они будут связаны тем условием, что точки пересечения одноименных сторон веревочного многоугольника (фиг. 8), построенных для одной и той же группы сил, но при различных полюсах, лежат на одной прямой А0Аn (называемой полярной осью), параллельной оси О1О2 - линии, соединяющей полюсы.

Веревочный многоугольник

Это непосредственно следует из того, что в любом четырехугольнике 2ВВ'3 в поле сил и в соответствующем ему четырехугольнике bО1O2с в плане сил три стороны, образующие его, и две диагонали взаимно параллельны, следовательно, четвертые стороны 2—3 и О1—O2 также параллельны; а т. к. отрезки 1—2, 2—3, 3—4 имеют общие точки, то прямая А0Аn||O1O2. Наличие трех степеней свободы дает возможность обусловливать построение веревочного многоугольника любыми тремя (и менее) условиями. Примером может служить проведение веревочного многоугольника через три заданные точки.

Веревочный многоугольник

На фиг. 9 дано такое построение для группы сил Р1, ..., Р6, с условием, что первый луч должен пройти через точку а, последний - через точку b, а луч 4, между силами Р3 и Р4, через точку с. Сначала выбираем полюс О произвольно, строим 1-й веревочный многоугольник 1-2-3-4-5-6-7, начав построение с точки с, проведя через нее луч 4; затем строим влево лучи 3, 2, 1 и вправо лучи 5, 6 и 7. Точками kи n определяются положения равнодействующих R1 (сил Р1, Р2 и Р3) и R2 (сил Р4, Р5 и Р6). Проведя луч аk, мы тем самым заставим левую сторону многоугольника пройти через точки а и с. Этому многоугольнику будет соответствовать новый полюс d. Аналогично лучом bn в правой части определяется многоугольник, проходящий через точки с и b. Этому многоугольнику соответствует новый полюс е. Т. к. по условию левые многоугольники своими крайними сторонами должны проходить через точки а и с, а все правые через точки с и b, то новый полюс О1, удовлетворяющий условию прохождения общего многоугольника через точки а, с и b, определяется пересечением прямых dO1||ас и еО1||bс. При этом полюсе веревочный многоугольник пройдет через все три заданные точки, и, так как все три степени свободы веревочного многоугольника здесь использованы, построенный веревочный многоугольник будет единственно возможным. Если за полюс принять начальную точку силового многоугольника а, то каждая из сторон веревочного многоугольника R1, R2 и т. д. (фиг. 2) дает положение и направление равнодействующих всех сил, предшествующих рассматриваемой стороне. Последняя сторона совпадает с равнодействующей всех отдельных сил (применение - кривая давления).

При помощи веревочного многоугольника определяются статические моменты сил и грузов относительно любой точки плоскости. Пусть даны силы 1, 2, 3 и 4 и требуется найти их момент относительно заданной точки С (фиг. 10, А).

Веревочный многоугольник

Соединим данные силы в многоугольнике сил и построим для них веревочный многоугольник. Проведем через точку С прямую, параллельную R, и назовем через у величину отрезка ее между направлением крайних сторон веревочного многоугольника, а через Н - расстояние равнодействующей R от полюса О (называемое полюсным расстоянием). Сравнивая два подобные треугольника ЕХУ и Оае и принимая во внимание, что момент составляющих сил равен моменту равнодействующей, можем написать: R:Н = у:h, откуда Rh = М = Ну, т. е. статический момент данных сил равен произведению полюсного расстояния Hи их равнодействующей на величину отрезка у, отделяемого крайними сторонами веревочного многоугольника на прямой, проведенной через заданную точку С параллельно R. Знак момента определяется по направлению вращения R относительно точки С. Следует заметить, что величина Н из плана сил прочитывается в масштабе отложенных сил, а отрезок y из поля сил - в масштабе длин. Указанное свойство имеет большое приложение для вычисления изгибающих моментов в балках, когда данные силы параллельны. На фиг. 7 - свободно лежащая на двух опорах балка с системой параллельных сил; требуется определить последовательно величины моментов сил, находящихся по левую сторону от точек с1, с2, с3 и т. д., относительно последних. В данном случае полюсное расстояние Н для всех сил будет одно и тоже. Данные силы A, P1, P2, В откладываем в плане сил и строим веревочный многоугольник I-II-III-IV. Затем, по предыдущему, проводим через точку c1 прямую, параллельную равнодействующей, которая вертикальна, и находим отрезок у1 между крайними сторонами I и III. Тогда произведение М1 = у1Н выразит искомую величину момента всех сил, лежащих левее точки c1. Аналогично для второй точки, с2, M2 = y2H, и т. д. Т. о., искомые значения моментов оказываются пропорциональными ординатам у сторон веревочного многоугольника относительно первой стороны его и, следовательно, изменяются между двумя смежными силами по закону прямой. Величина равнодействующей Q сил на участке между силами Р1 и Р2 определяется в плане сил отрезком, заключенным между I и III лучами, и равна Q2 = A—P1. Ее положение определяется в поле сил точкой С пересечения лучей I и III (фигура 7). Графически представленные законы изменения момента и равнодействующих всех левых сил по длине балки называют эпюрами моментов и поперечных сил.

Из рассмотрения фиг. 7 можно вывести зависимость: tg α2 = Q2/H и вообще tg αn= Qn/H.

Так как αn есть угол, образуемый лучом n + 1 относительно 1-го луча, то вообще tg αn= dyn/dx; но уn = Mn/H, а потому

verev mnogougolnik 11

откуда dMn/dx = Qn (теорема Шведлера). T. о. производная от момента внешних сил для какой-либо точки балки равна поперечной силе для этой балки.

Веревочный многоугольник

Если вместо сосредоточенных грузов будет иметь место непрерывно распределенная сплошная нагрузка (фиг. 11), то ее можно рассматривать как систему бесконечно большого числа бесконечно малых грузов, расположенных бесконечно близко друг к другу. Для такой системы сил веревочный многоугольник обратится в плавную кривую, называемую веревочной кривой. Заданную сплошную нагрузку переменной интенсивности z делят вертикальными прямыми аа, bb и т. д. на ряд участков, определяют нагрузку, соответствующую каждому участку, и эти нагрузки откладывают в определенном масштабе на многоугольнике сил (фиг. 11, Б). Система лучей, проведенных через произвольный полюс О к началу и концу каждого из отложенных отрезков I, II, ..., VI, определит направления сторон веревочного многоугольника I', II', ..., VI'. Искомая веревочная кривая будет являться вписанной в построенный веревочный многоугольник. Точками касания являются точки пересечения сторон веревочного многоугольника с вертикальными прямыми, разделяющими заданную сплошную нагрузку на ряд сосредоточенных сил. Это следует из того, что на границе участков ординаты веревочного многоугольника и искомой веревочной кривой д. б. одинаковы, т. к. и та и другая ординаты определяют на границе участков момент всех сил, расположенных левее этой границы, а силы у них общие. При расположении полюса О с левой стороны, кривая, очевидно, будет являться описанной около веревочного многоугольника.

Так как направления касательных параллельны соответствующим лучам многоугольника сил, то отсюда можно вывести дифференциальное уравнение веревочной кривой. Действительно, для касательной в точке х' имеем:

verev mnogougolnik 13

Дифференцируя, имеем:

verev mnogougolnik 14

Это и есть дифференциальное уравнение веревочной кривой.

Если закон изменения интенсивности нагрузки z нам известен, то путем интегрирования полученного выражения можно найти уравнение соответствующей веревочной кривой.

1-й случай. Сплошная нагрузка равномерно распределена вдоль горизонтальной оси. Величина z = p будет постоянной (фиг. 12).

Веревочный многоугольник

Т. о. y” = p/H. Интегрируя, имеем:

verev mnogougolnik 16

Постоянные интегрирования м. б. определены, если задано по условию положение той прямой, от которой надлежит производить отсчеты ординат. Так, например, если направление I луча должно являться такой прямой, то имеем, что, при х—0, у' = у = 0. Подставляя эти значения абсцисс и ординат в выражения у' и у, получаем С = D= 0, и уравнение веревочной кривой примет вид:

verev mnogougolnik 17

т. е. веревочная кривая представляет собою параболу.

2-й случай. Сплошная нагрузка равномерно распределена по длине той кривой, какой д. б. сама веревочная кривая (собственный вес тяжелой гибкой нити). В этом случае веревочная кривая представляет собой цепную линию, т. е. ту форму, которую принимает подвешенная в двух точках гибкая тяжелая (но нерастяжимая нить) под влиянием собственного веса q0 кг/м (фиг. 13).

Веревочный многоугольник

В данном случае

verev mnogougolnik 19

 где dx/dy- производная от уравнения искомой веревочной кривой. Т. о. дифференциальное уравнение цепной линии:

verev mnogougolnik 20

Интегрируя выражение дважды и выбирая начало координат, как указано на фиг. 13, имеем:

verev mnogougolnik 21

Величина полюсного расстояния Н определится из условия, что длина цепной линии verev mnogougolnik 22 равна заданной длине троса.

Одно из самых важных приложений уравнения веревочной кривой в строительной механике основано на совпадении этого уравнения с уравнением упругой линии - изогнутой оси балки.

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 3 - 1928 г.