Греффе способ

г

ГРЕФФЕ СПОСОБ вычисления корней алгебраических уравнений основан на следующих рассуждениях. Пусть уравнение n-й степени имеет действительные и неравные по абсолютной величине корни; строим последовательно уравнения, корнями которых будут 2-е, 4-е, 8-е и т. д. степени корней первоначального уравнения; в полученных т. о. последовательных уравнениях наименьший по абсолютной величине корень будет представлять все меньшую часть предыдущего. Если полученное после достаточного ряда таких преобразований уравнение имеет вид

Greffe sposob 1

и его корни (все положительные) в убывающем порядке суть

Greffe sposob 2

то из формулы

Greffe sposob 3

имеем

Greffe sposob 4

т. к. все последующие слагаемые малы сравнительно с первым; далее, по той же причине

Greffe sposob 5

откуда

Greffe sposob 6

Извлекая из найденных значений x1, x2, ... , хn корень соответствующей степени, найдем корни заданного уравнения.

Построение уравнения, корни которого суть квадраты данного, ведется в следующем порядке. Пусть g(х) - левая часть данного уравнения:

Greffe sposob 7

Строим выражение

Greffe sposob 8

Произведение выражений (1) и (2) состоит из множителей

Greffe sposob 9

где i = 1, 2, …, n. Заменяя в произведении x2 через z и приравнивая нулю, получаем искомое уравнение n-й степени относительно z с корнями

Greffe sposob 10

Коэффициенты нового уравнения вычисляются по схеме:

Greffe sposob 11

Суммы столбцов 1, b1, b2, b3, ... суть коэффициенты нового уравнения. Так как число цифр в коэффициентах при повторении очень быстро возрастает, то (ведя, например, вычисления при помощи логарифмических таблиц) округляем результаты, оставляя одну цифру до запятой, число значащих цифр, даваемое таблицей, и умножаем на соответственную степень 10 (так, в данном ниже примере вместо 1936 берем 1,936·103).

Greffe sposob 12

После нескольких раз применения описанного процесса удвоения произведения будут исчезающе малы сравнительно с квадратами; тогда останавливаем процесс, вычисляем корни последнего уравнения по вышеприведенным формулам, извлекаем корень соответственной степени и получаем абсолютные величины корней исходного уравнения; знак этих корней определится подстановкой в уравнение.

Пример вычисления. Дано уравнение

Greffe sposob 13

Для вычисления его корней находим коэффициенты новых уравнений по схеме (А): останавливаемся на 8-ой степени, далее удвоенные произведения не окажут влияния на 4-ю цифру. Корни исходного уравнения будут равны по абсолютной величине:

Greffe sposob 14

Т. к. данное уравнение не может иметь положительных корней, то перед всеми значениями надо взять знак —; контроль: сумма корней дает Greffe sposob 15

Случай мнимых корней представляет некоторые затруднения; например, если входит одна пара мнимых сопряженных корней, занимающая по модулю 2-е и 3-е место, так что

Greffe sposob 16

то после, например, преобразования, примененного к 8-м степеням, получим:

Greffe sposob 17

т. е. модуль мнимого корня определен; для определения ϕ воспользуемся равенством:

Greffe sposob 18

Если мнимых корней более одной пары, расчет еще более затрудняется. При всем том метод Греффе практически должен быть признан лучшим способом приближенного разыскания корней алгебраических уравнений.

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 6 - 1929 г.