Взаимность перемещений

в

ВЗАИМНОСТЬ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ. Это положение было доказано Бетти (Е. Betti) в 1872 г. Оно имеет вид:

vzaimnost peremescheniy 1

и формулируется так: «если какая-либо система находится последовательно под действием нагрузок Sn (1-е состояние) и нагрузок Sm (2-е состояние) или наоборот, то возможная работа сил первого состояния (Sn) на перемещениях δnm, вызываемых силами второго состояния (Sm) по направлениям первых, равна возможной работе сил второго состояния (Sm) на перемещениях δmn, вызываемых силами первого состояния (Sn) по направлениям сил второго состояния».

Взаимность перемещений

Например, если на ферму (фиг. 1) действует сила Рn, вызывающая изменение наклона раскоса Dm к горизонту на величину Δϕmn (1-е состояние), и затем подействует пара сил с моментом Мm, вызывающая перемещение узла n на величину fnm (2-е состояние), то, по смыслу теоремы Бетти, можно написать:

vzaimnost peremescheniy 3

Это положение имеет большое применение в расчетах статически неопределимых систем; оно облегчает написание уравнений, недостающих для расчета этих систем.

Взаимность перемещений

Например, если рассматривать арку, заделанную пятами (фиг. 2), представляющую собой трижды статически неопределимую систему, то, приведя эту арку к виду статически определимого кривого бруса с приложенными к нему неизвестными На, Vа и Ма, можно рассматривать этот брус в следующих четырех состояниях загружения:

1-е, действительное состояние:
нагрузки: Р, На, Va, Ма;
деформации: Δх = 0, Δу = 0, Δϕ = 0;

2-е, воображаемое состояние:
перемещения: vzaimnost peremescheniy 5
нагрузка: 1        —           —;

3-е, воображаемое состояние:
перемещения: vzaimnost peremescheniy 6
нагрузка:            —           1             —;

4-е, воображаемое состояние:
перемещения: vzaimnost peremescheniy 7
нагрузка:            —           —           1.

Это дает возможность составить следующие уравнения:

Взаимность перемещений

Далее остается упрощение этих уравнений, вычисление величины δ в них и решение их относительно неизвестных Нa, Vа и Ма. Частный случай теоремы о взаимности перемещений был доказан еще в 1864 г. Максвелом (С. Maxwell), который показал, что δnm= δmn. Это положение формулируется так: «если на систему действуют две количественно равные нагрузки, то перемещение (δnm), вызываемое действием второй нагрузки (m) по направлению первой (n), количественно равно перемещению, вызываемому действием первой нагрузки (n) по направлению второй (m)». Например, если на балку действует сила Рn = С кг и момент Мm = С кгм (фиг. 3), то прогиб fnm, вызываемый моментом Мm по направлению силы Рn, будет равен углу поворота ϕmn, вызываемому действием силы Рn по направлению момента Мm, т. е. fnm = ϕmn.

Взаимность перемещений

Эта зависимость позволяет заменять сложное по вычислению перемещение δmn более простым по вычислению перемещением δnm. Кроме того эта зависимость позволила перейти от эпюр перемещений и линий прогибов к линиям влияния в статически неопределимых системах. Например, если бы для двухшарнирной арки, представляющей собой однажды статически неопределимую систему, требовалось построить линию влияния распора Н, то это построение может быть сделано на основании следующих соображений. Приведя арку к виду статически определимого кривого бруса, лежащего на двух опорах (фиг. 4), строим для него эпюру перемещений, как веревочную кривую аnb для упругих грузов w.

Взаимность перемещений

Каждая ордината этой кривой определяет собой величину вертикального перемещения δPH любой точки n оси арки. Так как, по теореме о взаимности перемещений, δPH = δНР, то, следовательно, ординаты той же кривой определяют собой величины перемещения точки приложения силы Н от действия силы Р = 1, приложенной в точке n оси арки, и так как эти ординаты изменяются в зависимости от положения груза Р = 1, то, следовательно, кривая аnb представляет собой линию влияния перемещения точки А по направлению силы На. Рассмотрим зависимость между нагрузками Р = 1 и На в условиях 1-го и 2-го состояний:

vzaimnost peremescheniy 11

Из этого следует, что кривая аnb с ординатами vzaimnost peremescheniy 12 может быть рассматриваема как линия влияния неизвестной силы На при условии измерения этих ординат в масштабе vzaimnost peremescheniy 13

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 3 - 1928 г.