Волны

Волны

ВОЛНЫ, процесс распространения колебательного состояния в пространстве, на поверхности или по линии. На фиг. 1 показана мгновенная форма волны, для простейшего случая, при распространении вдоль прямой линии, причем по ординатам отложены значения рассматриваемого состояния. Волны могут возникать в любой среде, точки которой связаны между собою теми или иными силами взаимодействия. Распространение волны характеризуются в простейшем случае следующим синусоидальным или косинусоидальным уравнением:

Распространение волны

или в комплексной форме:

Распространение волны

Физическая природа (y) зависит от характера волнового процесса. Она может быть скалярного характера (уплотнение или разрежение в звуковой волне) или векторного характера (продольное или поперечное смещение точки, вектор электрической или магнитной силы и т. п.).

Мгновенная форма волны

А - амплитуда волны, t - время, протекшее от начала волнового процесса (которое можно выбирать произвольно), Т - период колебания, х - расстояние рассматриваемой точки от центра возбуждения, v - скорость распространения волнового процесса в единицу времени (фазовая скорость) и, наконец, λ = v∙Т - расстояние между двумя точками, находящимися в одинаковой фазе, называемое длиной волны. Длина волны измеряется всегда в направлении распространения волн, т. е. вдоль луча. Процесс, изображаемый приведенным выше уравнением, периодический как во времени, так и в пространстве. Если рассматривать определенную точку в пространстве (например, x = х1), то уравнение будет выражать простое гармоническое колебание, происходящее в этой точке; наоборот, при постоянном t уравнение принимает следующий вид:

Volny 4

т. е. изображает периодическую в пространстве форму волны, где x стоит вместо t, а λ вместо Т; т. о. длина волны λ является пространственным периодом формы волны, подобно тому как Т - временным периодом колебательного движения. Приведенные данные относятся и к волнам, распространяющимся по линии; в более общем случае волны распространяются по многим направлениям.

Геометрическое место точек, оказывающихся при этом в тождественной фазе, называется волновой поверхностью. Волна, исходящая из колеблющегося источника физически исчезающе малых размеров и распространяющаяся в однородной, изотропной среде, имеет шаровую форму; волны, исходящие от колеблющейся прямой, имеют цилиндрическую волновую поверхность, от колеблющейся плоскости - плоскую. Кроме вышеперечисленных пространственных волн в природе наблюдаются также и поверхностные волны (фиг. 2 - волновое движение вблизи поверхности жидкости), например круговые волны, исходящие от камня, брошенного в воду. Поверхностные волны играют большую роль в процессе распространения электромагнитных волн вдоль поверхности земли. Если волновой процесс распространяется только вдоль одной линии, то поверхность волны сводится к точке.

Волновое движение вблизи поверхности жидкости

Принцип суперпозиции (интерференция волн). Если в одном и том нее пространстве будут иметь место два или несколько волновых процессов, то значение волновой функции в зависимости от каждого процесса в отдельности выразится формулами:

Принцип суперпозиции (интерференция волн)

где δ - разность хода, или разность фаз. Как показывает опыт, в большинстве случаев результирующая волновая функция будет геометрической (в частных случаях - скалярной) суммой отдельных волновых функций (принцип независимого наложения, или суперпозиции). Для электромагнитных волн принцип соблюдается точно; для упругих волн он верен при достаточно малых амплитудах. В результате сложения двух или нескольких колебательных процессов в одной точке пространства может произойти интерференция. Необходимым условием интерференции является постоянство разности хода лучей. Важнейшим и простейшим случаем интерференции будет явление распространения двух тождественных волн в прямо противоположных направлениях. В этом случае для отдельных волновых функций получается:

Volny 7

Это - уравнение т. н. стоячей волны. В то время как в поступательной плоской волне каждая точка вдоль луча имеет различную фазу, но одну и ту же амплитуду, - в аналогичной стоячей волне все точки вдоль луча будут иметь тождественную фазу, но различные амплитуды. Точки наибольшей амплитуды называются пучностями колебаний, а точки наименьшей или остающейся все время в покое амплитуды - узлами колебаний. В теории упругости доказывается, что в случае продольных стоячих волнах узлы давления совпадают с пучностями колебаний, и наоборот. Так. обр. в пучностях колебаний будем иметь максимальную кинетическую и минимальную потенциальную энергию, в узлах наблюдается обратное явление.

Векторные волны разделяются на продольные и поперечные в зависимости от того, происходит ли распространение волна в направлении колебания или поперечно к нему. Примером волны последнего рода может служить обыкновенное колебание струны. В этом случае волна распространяется вдоль струны, в то время как колебания каждой материальной частицы совершаются перпендикулярно к струне. Примером продольных волн могут служить волны в газообразных и жидких телах, т. е. звуковые волны. В них частицы колеблются параллельно направлению распространения волн. В упругих средах могут распространяться как продольные (волны сгущения), так и поперечные волны. Упругое твердое тело может испытывать деформации двоякого рода: изменения объема (вследствие уплотнения или разрежения) и изменения формы. Продольные волны возможны во всех средах, обладающих сжимаемостью, поперечные - только в средах, допускающих деформации сдвига и кручения.

Скорость распространения волнового процесса зависит от упругих свойств среды и характера движения. В ограниченной среде, например, при распространении вдоль стержней, эта скорость будет зависеть также от геометрических размеров данного тела. Скорость распространения б. ч. не зависит от амплитуды колебаний (исключение - взрывные волны в воздухе), но скорость распространения световых волн в материальных средах и волн упругости зависит от частоты распространяющегося колебательного процесса. Для продольных волн теория дает следующую формулу скорости их распространения

Для продольных волн теория дает следующую формулу скорости их распространения

где Е - модуль упругости, определяемый статическими опытами, а ϱ - плотность вещества; аналогично для поперечных волн закручивания в стержнях поперечного круглого сечения имеем:

Volny 9

где G - модуль сдвига, а ϱ имеет указанное выше значение. Для поперечных волн изгиба получается более сложная зависимость:

Для поперечных волн изгиба получается более сложная зависимость

где θ - момент инерции относительно нейтрального волокна, q - поперечное сечение стержня, а λ - длина волны; т. о. в волнах этого рода скорость зависит и от длины волны (фиг. 3 - волна гнутия, распространяющиеся по стержню).

Волна гнутия, распространяющиеся по стержню

Для скорости распространения продольных волн в газах формула

Volny 8

принимает вид

Volny 11

где dp - приращение давления газа, a dϱ - соответственное изменение плотности. В области звуковых волн мы имеем вследствие высокой частоты звуковых колебаний не изотермический, а адиабатический процесс, и в соответствии с этим Volny 12 будет равно не Volny 13 , как это имело бы место в изотермическом процессе, а Volny 14 где k есть отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме:

Volny 15

Следовательно, в газах

Volny 16

Скорость звука в воздухе, в согласии с вышеприведенной теорией, равна 340 м/сек при нормальных условиях. В электромагнитных волнах скорость обусловлена соответственными электромагнитными константами и равна:

В электромагнитных волнах скорость обусловлена соответственными электромагнитными константами

где с - универсальная постоянная скорости распространения электромагнитных волн любой длины в вакууме, равная приблизительно 3∙1010 см/сек, ε - диэлектрическая постоянная, а μ - магнитная проницаемость среды. Эта формула неприменима в случае распространения световых и вообще диспергирующих электромагнитных волн в материальных средах, где скорость распространения зависит также и от периода колебаний. При переходе волны из одной среды в среду с другими физическими свойствами часть волновой энергии отражается, другая часть распространяется с изменившейся скоростью (отражение и преломление волн).

Поляризация волны. Поляризованной волной называется векторная волна, вектор колебания которой сохраняет неизменным свое направление; из этого следует, что поляризованы м. б. только поперечные волны.

Энергетика волнового процесса. В плоской поступательной волне, поскольку энергия не абсорбируется средой, величина W потока энергии (т. е. количества энергии, падающей в 1 сек. на 1 см2 поверхности, перпендикулярной к направлению распространения волны) остается постоянной; в цилиндрической и поверхностной круговой волне величина W изменяется обратно пропорционально расстоянию, а в сферической - квадрату расстояния от центра возбуждения колебаний. Это станет очевидным, если принять во внимание, что полный поток энергии, остающийся неизменным, распространяется на все большие поверхности или линии. Следует помнить, что при волновом процессе не происходит переноса материи: каждая материальная частица совершает периодические колебания вокруг своего положения равновесия, и ее средняя скорость за период равна нулю. В волновом процессе распространяется только энергия. Интенсивность музыкального тона, светового источника или электромагнитного излучателя пропорциональна, при данной частоте, амплитуде колебаний, следовательно, на данном расстоянии амплитуда является мерилом интенсивности возбудителя колебаний.

Фазовая, сигнальная и групповая скорость. В новой физике понятие скорости распространения волны расчленяется на три различных, хотя и тесно связанных между собою, понятия, а именно различают фазовую скорость, скорость сигнала и групповую скорость. Если под фронтом волны понимать границу волнового процесса, то под скоростью сигнала надо понимать скорость распространения фронта волны. Скорость распространения фронта электромагнитных волн любой длины (в том числе и световых и волн, распространяющихся в материальных средах) будет всегда равна скорости с электромагнитных волн в пустоте (Зоммерфельд). Вследствие неодинаковой скорости распространения волн различной длины в материальных средах, форма сложной кривой, являющейся результатом сложения нескольких простых волн, будет меняться во времени и в пространстве. Скорость перемещения максимальной амплитуды этой сложной кривой и будет называться групповой скоростью. Для простейшего случая групповой скорости двух волн, весьма мало различающихся по своей длине, Релей вывел следующую формулу:

Для простейшего случая групповой скорости двух волн, весьма мало различающихся по своей длине

где v - скорость простой, составляющей волны, а λ - длина элементарной волны (фиг. 4 и 5 -  группы волн).

Группы волн

Группы волн

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 4 - 1928 г.