Виллиса теорема

в

ВИЛЛИСА ТЕОРЕМА устанавливает основное требование, которому должны удовлетворять профили зубцов зубчатых колес при правильной передаче, удовлетворяющей условиям непрерывности зацепления и постоянства передаточного числа зубцов. Пусть А и В - зубцы двух колес, соприкасающиеся в точке D, причем О1 и О2 - оси вращения колес. Скорость точки D, принадлежащей зубцу А, равна v1 = w1R1, скорость той же самой точки D, но принадлежащей зубцу В, равна v2 = w2R2, где w1 и w2 - угловые скорости, а R1 и R2 - радиусы-векторы. Разложим v1 и v2 на их составляющие по направлениям: NN - общей нормали к профилям в точке D и ТТ – общей касательной.

Виллиса теорема

Из чертежа видно, что c1/v1 = ρ1/R1, откуда с1 = v1·ρ1/R1 = w1·ϱ1. Равным образом с2 = v2·ρ2/R2 = w2·ϱ2, где ϱ1 и ϱ2 – длины перпендикуляров, опущенных из центров О1 и О2 на линию NN. При правильной передаче с1 = с2, т. к. зубцы не могут внедриться друг в друга и отстать один от другого; следовательно, w1·ϱ1 = w2·ϱ2, откуда w1/w2 = ρ21.

Для равномерности хода это отношение д. б. постоянным. Из чертежа видно, что

Виллиса теорема

где i- передаточное число, O2P = r2 и O1P = r1 - радиусы начальных окружностей пары зубчатых колес; но О1О2 = г1 + г2 есть величина постоянная, поэтому точка Р - пересечение нормали к профилям с линией центров - получает неизменное положение на линии центров. Т. о., по теореме Виллиса, профили зубцов д. б. подобраны так, чтобы в любой момент движения общая нормаль к ним в точке касания проходила через одну и ту же точку Р, которая называется полюсом зацепления и является заданной точкой касания начальных окружностей для данной пары зубчатых колес.

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 3 - 1928 г.