Вихревая теория

Вихревая теория

ВИХРЕВАЯ ТЕОРИЯ, теория вихрей, учение о вихревом движении жидкости, имеющее большие приложения в аэродинамике и гидродинамике и являющееся одной из важнейших глав этих наук. Так как почти во всех действительных гидродинамических явлениях возникают вихри, то приложение теории вихрей к изучению этих явлений имеет большое значение. За последнее время вихревая теория дала возможность исследовать такие сложные явления, какими являются работа гребного винта, сопротивление тел и т. п.

Можно показать, что движение малой жидкой частицы составляется: 1) из поступательного движения центра тяжести частицы, 2) из движения с потенциалом скоростей, которое выражается в деформациях частицы, и 3) из вращательного движения частицы (1-я теорема Гельмгольца). Проекции угловой скорости частицы на оси координат будут ξ, η, и ζ (см. Аэродинамика). При равенстве нулю этих компонентов вихря ξ, η, и ζ, движение будет с потенциалом скоростей.

Если в жидкости проследить непрерывное изменение направления мгновенных осей вращения частиц и провести линию, касательные к которой будут совпадать с этими осями, то такая линия будет называться вихревой линией. Поверхность, проведенная через какую-нибудь линию в жидкости и образованная из вихревых линий, называется вихревой поверхностью. Жидкость, заключенная внутри вихревой поверхности, построенной на бесконечно малом замкнутом контуре, называется вихревой нитью. Если среди незавихренной жидкости имеется вихревая область, которая заключена в конечной толщины трубку, образованную вихревой поверхностью, то она называется вихревым шнуром. Если же эта область заключена между двумя близкими вихревыми поверхностями, она называется вихревым слоем. Произведение площади сечения вихревой нити на угловую скорость вращения жидкости w в этой нити называется напряжением вихревой нити. Напряжение вдоль вихревой нити остается постоянным (2-я теорема Гельмгольца), а отсюда следует, что вихревые нити сами на себя замыкаются или лежат на границах жидкости, ибо если вихревая нить кончилась бы в жидкости острием, то = 0, и w обратилась бы в ∞. Возьмем в жидкости какой-либо замкнутый контур, спроектируем на касательную в каждой его точке скорость в этой точке v и возьмем по всему контуру сумму произведений этих проекций на элемент контура. Полученное выражение J = ∫ v∙cos α∙ds, где α - угол между касательной и направлением скоростей, a ds - элемент контура, называется циркуляцией по данному контуру. Циркуляция играет очень большую роль в вихревой теории, ибо при помощи ее значительно упрощаются некоторые определения, выводы и формулы. Циркуляция аналогична работе в механике, только в ней роль силы играет скорость. По теореме Стокса, циркуляция по взятому замкнутому контуру в односвязном пространстве (т. е. в пространстве, в котором всякий контур можно обратить в точку) равна удвоенной сумме напряжений всех вихревых нитей, проходящих через площадь, охватываемую контуром. Из этой теоремы следует, что если циркуляция по любому контуру равна нулю, то угловая скорость вращения частиц равна нулю:

w2 = ξ2 + η2 + ζ2 = 0, отсюда ξ = η = ζ = 0;

это и есть признак наличия потенциала скоростей и, следовательно, незавихренности потока. Т. о. в невихревом потоке циркуляция по любому контуру равна нулю. Циркуляция по замкнутому контуру, проводимому через одни и те же частицы жидкости, остается во все время движения постоянной (теорема Томсона). Отсюда следует, что если потенциал скоростей существовал в начальный момент, то он будет существовать и все время, и, наоборот, вихревое движение, раз оно существует, разрушиться не может. Таким образом, в идеальной жидкости вихри возникнуть не могут.

Рассмотрим бесконечно длинный прямолинейный вихревой шнур с циркуляцией J, находящийся в среде, в которой других вихрей нет. Этот вихревой шнур вызовет вокруг себя определенное поле скоростей; линии токов этого движения будут концентрическими окружностями, и мы получим т. н. циркуляционный поток (фиг. 1), скорости которого найдутся из следующих соображений.

Циркуляционный поток

Так как вне вихря других вихрей нет, то, следовательно, по теореме Стокса, вокруг этого вихря циркуляция по любому контуру будет равна J. Циркуляция по концентрической вихрю окружности с радиусом r будет: J = 2π∙v∙r, откуда скорость v = J/2πr. Если радиус цилиндрического вихря обозначить через r0 и скорость на поверхности через v0, то скорость в любой точке вне вихря будет скорость v = (r0∙v0)/r. Если принять v за ось ординат, а r - за ось абсцисс, то это уравнение представит собой равнобокую гиперболу. Как видим, скорость при небольших r изменяется очень быстро, и при очень тонком шнуре, радиус которого близок к нулю, скорость близка к бесконечности; следовательно, теоретически, около такого бесконечно тонкого вихря получаются бесконечно большие скорости. Давление в каждой точке найдется по уравнению: р = Const—v2/2. Т. к. с уменьшением радиуса скорость увеличивается, то внутри вихря будет пониженное давление. Указанный тип вихря встречается в природе в виде смерчей, тайфунов и американских торнадосов. Вследствие пониженного давления внутри вихря он захватывает с собой встречающиеся по пути его движения предметы. Сравнительно резко ограниченная область больших скоростей и пониженного путь опустошения смерча также резко очерченным.

В случае наличия нескольких прямолинейных вихрей скорость, вызванную ими в какой-нибудь точке жидкости, можно найти, пользуясь принципом независимости действия, согласно которому полная вызванная вихрями скорость равна геометрической сумме скоростей, вызванных отдельными вихрями. В случае криволинейных шнуров вызванная элементом вихря ds скорость dv в точке А выражается следующим образом (фиг. 2):

Вихревая теория

где J - циркуляция вокруг вихря, ϕ - угол между расстоянием от данной точки до элемента вихря ds и осью вращения точки А.

Вихревая теория

Эта формула является аналогичной формуле электродинамики, выражающей закон Био-Савара о действии электрического тока на магнитный полюс. Вообще говоря, между электромагнитными и гидродинамическими явлениями наблюдается большая аналогия. Движение вихрей, даже прямолинейных, довольно трудно поддается математическому исследованию вследствие сложности самого явления; эти явления упрощают, рассматривая плоское движение, перпендикулярное оси вихрей. Если принять напряжение вихря за его массу, то при наличии нескольких прямолинейных вихрей можно, найти их общий центр тяжести. Если имеются два прямолинейных параллельных вихревых шнура, вращающихся в одну и ту же сторону, то они будут вращаться около общего центра тяжести; при вращении в разные стороны они будут двигаться прямолинейно, сохраняя одинаковые между собой расстояния. Одиночные вихри остаются неподвижными, если нет переносного движения. Интересными вихреобразованиями являются вихревые кольца, которые представляют собой вихревые шнуры, замкнутые сами на себя. Эти кольца двигаются по тому направлению, по которому отбрасывается жидкость внутри кольца. Чем тоньше кольцо, тем быстрее при той же циркуляции оно движется. Если выпустить одно за другим два вихревых кольца, то будет наблюдаться т. н. игра колец, при которой одно кольцо попеременно догоняет другое и кольца, изменяя свою величину, проходят одно сквозь другое.

Объяснение образования вихрей около обтекаемого жидкостью тела при наличии хотя бы малой вязкости дал в 1904 году Прантль, пользуясь теорией пограничного слоя. При движении тела в жидкости, на его поверхности, вследствие трения, скорость равна нулю, возрастая при удалении от поверхности и, наконец, становясь равной окружающему потоку (фиг. 3).

Вихревая теория

Т. о. около тела образуется пограничный слой некоторой толщины δ, скорости в котором отличны от таковых в окружающем потоке и толщина которого зависит от вязкости жидкости; чем меньше вязкость, тем меньше его толщина; для идеальной жидкости, без вязкости, толщина этого слоя будет равна нулю.

Вихревая теория

Рассмотрим движение цилиндра (фиг. 4) в вязкой среде. Теоретически в точках А и А' имеется повышенное давление и в точках С и С' - пониженное. Поэтому около поверхности цилиндра получаются течения от А к С и к С' и от А' к С и С'; этими течениями пограничный вихревой слой увлекается, и за точками С и С' вследствие получившихся противоположных токов начинают появляться вихри (фиг. 5).

Вихревая теория

При малых скоростях движения течение получается почти точно симметричное. При увеличении же скорости вихри за цилиндром приобретают известную интенсивность и питаются пограничным слоем, смываемым общим течением (фиг. 6), и за телом образуются два симметрично расположенных вихря.

Вихревая теория

Однако такое расположение парных вихрей не является устойчивым: наличие каких-либо случайных причин, хотя бы в виде сотрясений, ведет к изменению их на вихри, отрывающиеся от цилиндра поочередно и располагающиеся сзади в шахматном порядке (фиг. 7).

Вихревая теория

Периодическое отрывание таких вихрей наблюдается и при обтекании других тел и может, при известной частоте, произвести слышимый звук (например, в органных трубах) или, попадая в резонанс, произвести колебания других систем (например, вибрации проволок на аэроплане или стабилизатора от вихрей, срывающихся с крыльев аэроплана). Система шахматных вихрей позволила профессору Карману создать вихревую теорию лобового сопротивления.

Таким образом, общее сопротивление тела в жидкости состоит из сопротивления, обусловленного образованием вихрей, и из сопротивления трения.

 

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 3 - 1928 г.