Гюльдена формулы

г

ГЮЛЬДЕНА ФОРМУЛЫ, формулы для определения поверхностей и объемов тел вращения. Формулы Гюльдена выражают собою содержание следующих двух теорем.

1. Величина поверхности S, образованной вращением какой-либо плоской кривой около оси, лежащей с ней в одной плоскости и ее не пересекающей, равна произведению длины L этой образующей линии на длину дуги, пройденной ее центром тяжести. Обозначая через x0 расстояние центра тяжести образующей линии до оси вращения, получим для всей поверхности тела вращения: S = 2πх0L; для части же поверхности, соответствующей угловому перемещению α, меньшему 2π, S = αx0L.

2. Величина объема V, образованного вращением какой-либо плоской фигуры около оси, лежащей с ней в одной плоскости и ее не пересекающей, равна произведению образующей площади F данной фигуры на длину дуги, пройденной ее центром тяжести. Обозначая и в этом случае через х0 расстояние центра тяжести образующей площади до оси вращения, получим для всего объема тела вращения: V = 2πх0F; для части объема, соответствующей угловому перемещению α, меньшему 2π, V = αx0F. Если ось вращения пересекает площадь данной фигуры, то вышеуказанная формула определит разность объемов двух тел вращения описываемых площадями частей фигуры, лежащими по ту и другую сторону от оси вращения. Если вообще меридиональная линия дана уравнением y = f(x), ось Ох есть ось вращения, S - часть поверхности тела вращения, заключенная между двумя плоскостями, проведенными на расстоянии х1 и x2 от начала координат нормально к оси x-ов, и V - объем, заключенный между теми же плоскостями и поверхностью тела вращения, то

Guldena formuly 1

где Guldena formuly 2 - дифференциал длины дуги меридиональной кривой.

Вышеприведенные формулы Гюльдена могут быть применяемы вообще к какому угодно движению центра тяжести, лишь бы площадь фигуры была всегда перпендикулярна к направлению движения, например, при образовании различных трубчатых поверхностей и объемов. Две теоремы, лежащие в основе формул Гюльдена, изложены Гюльденом (Guldin, 1577—1633гг.) в его трудах: «De centro gravitatis» и «Centrobaryca», но еще раньше эта же идея об определении поверхностей и объемов тел вращения встречается у греческого математика Паппуса (Pappus, Collectiones mathematicae, lib. VII).

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 6 - 1929 г.