Градиент

г

ГРАДИЕНТ какой-либо скалярной функции ϕ, вектор, определяющий в каждой точке величину и направление наибольшего возрастания этой функции при перемещении на единицу длины. Обозначение: grad ϕ, или Δϕ. Если провести в пространстве поверхности уровня, соответствующие постоянным значениям ϕ, возрастающим в арифметической прогрессии, то grad ϕ будет в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку, и приблизительно обратно пропорционален расстоянию от данной точки до соседней поверхности уровня. Вектор Δϕ равен по величине производной ϕ в направлении нормали к поверхности уровня. Зная Δϕ в данной точке, получают значение производной от ϕ в любом направлении как проекцию Δϕ на это направление.

Градиент весьма часто встречается в физике. Так, например, при установившемся режиме вектор плотности теплового потока q (количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности) пропорционален градиенту температуры θ, т. е.

Gradient 1

В электростатическом поле вектор напряженности поля F равен отрицательному градиенту потенциальной функции ϕ, F = –Δϕ. В жидкости гидростатическая сила F, действующая на единицу объема, равна отрицательному градиенту давления р, т. е. F = –Δр. Во всех этих случаях линейный интеграл вектора Δϕ вдоль какого-либо пути не зависит от этого пути и равен разности значений у в предельных точках:

Gradient 2

Интеграл Δϕ вдоль замкнутой кривой (циркуляция) всегда равен нулю:

Gradient 3

если только функция ϕ однозначна в области интегрирования или если кривая интегрирования окаймляет такую поверхность, на всех точках которой ϕ сохраняет конечное значение. Так, например, прямолинейный цилиндрический проводник, через который проходит ток в I ампер, создает в окружающем пространстве магнитное поле, вектор напряженности которого

Gradient 4

где ϕ - угол, составляемый меридианной плоскостью, проходящей через ось проводника, с произвольно выбранной начальной меридианной плоскостью. Линейный интеграл вектора Н вдоль линии, охватывающей проводник, т. е. напряжение обхода вдоль этой линии, отличается от нуля:

Gradient 5

Здесь функция ϕ многозначна, а вектор Δϕ становится бесконечно большим на оси. В прямоугольных координатах Δϕ имеет выражение

Gradient 6

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 5 - 1929 г.