Гидродинамика

Гидродинамика

ГИДРОДИНАМИКА, часть механики, изучающая явления движения жидкости под действием сил. Простейшие опыты показывают, что в жидкости, находящейся в движении, могут существовать касательные усилия, обусловленные, с одной стороны, вязкостью, действующей между смежными элементами жидкости, с другой - смачиванием, действующим между элементами жидкости и элементами твердого тела и направленным по касательным к поверхностям раздела. Однако во многих случаях этими явлениями движущейся жидкости можно пренебрегать и ограничиться изучением движения идеальной жидкости, в которой все напряжения сводятся к нормальным давлениям (см. Гидростатика).              

Для аналитического описания движения жидкости существуют два способа: Эйлера и Лагранжа. Наиболее употребительный способ, Эйлера, состоит в том, что даются компоненты скорости жидкости u, v, w по осям координат в функциях координат х, у, z и времени t, т. е. u(х, у, z, t), v(x, у, z, t), w(х, у, z, t). Давая t какое-нибудь произвольное постоянное значение, мы будем знать, какова в рассматриваемый момент t скорость жидкости в различных геометрических точках, соответствующих различным значениям х, у, z. Обратно, давая координатам x, у, z какие-нибудь произвольные постоянные значения и меняя t, мы будем знать, как в рассматриваемой геометрической точке с координатами х, у, z меняется скорость с течением времени. Т. о. u, v, w являются функциями 4 независимых переменных х, y, z, t; если они не зависят от t, то движение называется установившимся. Чтобы найти траекторию какой-нибудь жидкой частицы, достаточно проинтегрировать систему совместных дифференциальных уравнений:

Gidrodinamika 1

интегралы будут иметь вид:

Gidrodinamika 2

где а, b, с - произвольные постоянные; их можно определить, выбирая для данного момента t какую-нибудь определенную частицу жидкости. Если для какого-нибудь момента t мы проведем в жидкости линию, касательная в каждой точке которой направлена по скорости жидкости в этой точке, то такая линия называется линией тока. Дифференциальные уравнения линий тока будут:

Дифференциальные уравнения линий тока

где t - произвольный, но постоянный параметр. В векторной форме, если r есть радиус вектор, a q - вектор скорости жидкой частицы, уравнения траектории и линии тока будут соответственно:

Gidrodinamika 4

Очевидно, что в установившемся движении траектории и линии тока совпадают между собой. Обозначая проекции внешних сил F (кроме гидродинамического давления) на координатные оси через X, Y, Z, гидродинамическое давление - через р, а плотность жидкости - через ϱ, будем иметь:

Gidrodinamika 5

или, в векторной форме:

Gidrodinamika 6

где Gidrodinamika 7 и i, j, k - единичные векторы, взятые вдоль осей координат. Разделив уравнения (4) на ϱ и вставив в них вместо Gidrodinamika 8 их значения, полученные из вторичного дифференцирования уравнения (1) по отношению к t, получим уравнения движения жидкости:

Gidrodinamika 9

или, в векторной форме:

Gidrodinamika 10

К уравнениям (5) надо прибавить еще уравнение, выражающее неизменяемость элементарной массы жидкости:

Gidrodinamika 11

или, в векторной форме:

Gidrodinamika 12

и уравнение, устанавливающее связь между р и ϱ на основании физических свойств жидкости: р = f(ϱ). Этих пяти уравнений достаточно для определения пяти функций u, v, w, р, ϱ от четырех независимых переменных х, у, z, t. Если жидкость несжимаемая, то ϱ = Const, и уравнение (6) принимает вид:

Gidrodinamika 13

или

Gidrodinamika 14

Уравнений (5) и (7) достаточно для определения четырех функций и, v, w, р. Чтобы задача решения уравнений гидродинамики имела смысл, необходимо дать граничные условия, которым должны удовлетворять интегралы; все разнообразие задач получается от видоизменения этих граничных условий. Если движение установившееся и силы имеют силовую функцию U, т. е. Х = dU/dx, Y = dU/dy, Z = dU/dz, или F = ΔU и, то вдоль каждой линии тока уравнения (5) дают соотношение:

Gidrodinamika 15

или

Gidrodinamika 16

для постоянного ϱ левая часть равна p/ρ. Это знаменитый интеграл Бернулли, имеющий громадные приложения в гидравлике.

Лагранж указал весьма важный частный случай движения жидкости, когда существует такая функция ϕ(х, у, z, t), что

Gidrodinamika 17

или

Gidrodinamika 18

функция ϕ называется потенциалом скоростей. Если силы имеют силовую функцию U и существует потенциал скоростей ϕ, то уравнения (5) допускают интеграл Лагранжа:

Интеграл Лагранжа

или

Gidrodinamika 20

где F(t) - произвольная функция. Если ϱ постоянно, то левая часть уравнения (10) обращается в p/ρ; в этом случае из формул (7) и (9) для определения ϕ получим уравнение Лапласа:

Уравнение Лапласа

Т. о., в этом случае задача приводится к определению только одной функции ϕ из уравнения (11) при данных в каждой задаче граничных условиях; зная ϕ, по формулам (9) и (10) найдем u, v, w, р. Если движение жидкости таково, что оно тождественно во всех параллельных между собою плоскостях, то движение называется плоским; очевидно, что в этом случае достаточно знать движение жидкости в какой-нибудь одной из параллельных плоскостей. Особенно важен случай установившегося плоского движения с потенциалом скоростей ϕ(х, у). Из формулы (3) для этого движения

Gidrodinamika 22

следует, при условиях (9) и (11), что существует такая функция Ψ(х, у), называемая функцией тока, что Ψ(х, у) = Const есть интеграл уравнения vdx – udy = 0, т. е. Ψ(х, у) = Const есть уравнение линий тока. Отсюда получается:

Gidrodinamika 23

т. е. ϕ + iΨ есть функция комплексного переменного х + iy. Т. о., задаваясь функцией комплексного переменного х + iy и разделяя в ней действительную и мнимую часть, мы находим ϕ и Ψ, т. е. получаем некоторое движение жидкости. Возможность пользоваться в задаче о плоском движении теорией функций комплексного переменного оказалась исключительно плодотворной, и все наиболее крупные успехи в гидродинамике связаны с этим обстоятельством.

Вопрос об источниках давления жидкости на двигающиеся в ней тела представляет особый интерес. Если тело полностью непрерывно обтекается жидкостью, причем движение жидкости совершается с однозначным потенциалом скоростей, то можно вычислить кинетическую энергию жидкости в функции компонентов поступательной и угловой скорости тела и отсюда составить дифференциальные уравнения движения тела в жидкости; разыскание и изучение интегралов этих уравнений составляет одну из трудных, но интересных проблем гидродинамики. Кирхгоф показал, что для каждого тела существуют три взаимно перпендикулярных направления, вдоль которых возможно прямолинейное и равномерное движение тела в жидкости без действия каких-либо сил, кроме начального импульса. При равномерном прямолинейном движении в других направлениях совокупность сил давления на элементы поверхности тела может давать пару сил, но результирующая этих элементарных давлений опять будет равна нулю. Т. о., идеальная жидкость, обтекающая вышеуказанным образом тело, двигающееся в ней прямолинейно и равномерно, не оказывает телу никакого сопротивления; это свойство идеальных жидкостей получило название «парадокса д ’Аламбера» или «парадокса Эйлера». Однако повседневный опыт показывает обратное: жидкость всегда оказывает движущимся в ней телам сопротивление, которое быстро возрастает с возрастанием скорости тела. Разрешение противоречия лежит в том, что реальное движение жидкости отличается от описанного выше. Одним из источников давления является прерывность течения жидкости. Точные математические методы изучения прерывных потоков существуют лишь для плоскопараллельного движения. Гельмгольц первый начал ими заниматься. Теория таких движений вблизи простейших прямолинейных стенок была дана Кирхгофом. Метод Кирхгофа был распространен на более сложные прямолинейные стенки Н. Е. Жуковским. Изучение плоскопараллельных установившихся потоков составляет самую существенную часть теории воздухоплавания.

Волнообразное движение жидкости рассматривается в гидродинамике в трех направлениях: поперечные волны на поверхности тяжелой жидкости (обычные волны на поверхности воды); приливные волны, которые характеризуются тем, что их длина громадна по сравнению с глубиной жидкости; продольные волны (звуковые волны в воздухе). Вследствие большой математической трудности почти все решения задачи о волнообразном движении жидкости имеют приближенный характер. Точная теория поверхностных волн с потенциалом скоростей дана лишь в 1922 г., независимо, различными методами, Леви-Чивита и А. И. Некрасовым; точная теория волн на поверхности раздела двух разнородных жидкостей дана Н. Кочиным. В жидкости возможны еще волны разрыва, т. е. движения поверхностей, разделяющих два различных кинематических состояния жидкости. Первый это отметил Риман. Теорию дали Гюгонио и Гадамар.

Уравнения движения вязкой жидкости впервые были получены Навье (Navier). Эти уравнения имеют вид:

Уравнения движения вязкой жидкости впервые были получены Навье (Navier)

Здесь

Gidrodinamika 25

где μ - коэффициент вязкости. В векторной форме уравнение Навье может быть представлено в виде:

В векторной форме уравнение Навье

Действие вязкости состоит в том, чтобы тушить возникшее движение; при этом происходит потеря механической энергии. Изучение движения вязкой жидкости представляет весьма большие математические трудности. Упростив уравнения, можно было решить некоторое количество задач, однако, как это показал в последнее время Озин (Oseen), не всегда такие упрощения дают верные решения. Интересное применение теории движения вязкой жидкости дано Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным.

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 5 - 1929 г.