Геометрия

Геометрия

ГЕОМЕТРИЯ, наука о пространстве и о расположенных в нем фигурах и телах. При своем возникновении геометрия имела прикладной характер и ставила себе целью измерение и вычисление расстояний, углов, площадей, объемов и т. п. В настоящее время элементарная геометрия дает возможность производить такие вычисления для простейших фигур и тел (многогранников, тел вращения), аналитическая и дифференциальная геометрия - для более сложных криволинейных образов. Но эти приемы представляют собою результат сложной эволюции. В первую эпоху своего развития на Востоке (Китай, Вавилон, Египет) геометрия строилась чисто интуитивно. Это привело к глубоко ошибочным результатам, вследствие чего сделалось необходимым применить к геометрическому исследованию более тонкие логические методы. Это получило осуществление в Греции. При господствовавшей в Греции тенденции к умозрительной науке, геометрия представила благоприятную почву для тонкой дедукции. У Евклида (3 век до нашей эры) геометрия превратилась в выдержанную логическую систему, в этом смысле имеющую самостоятельное значение и свои особенные пути. Свойства пространства и расположенных в нем образов были аксиоматизированы, т. е. выбраны были основные положения (аксиомы, или постулаты); все остальные (теоремы) выводились из этих аксиом путем формальной логики с помощью конструкций (проведения вспомогательных линий).

Такой метод дедукции, или синтетический, в значительной мере сохранился за геометрией и по настоящее время. В основе т. н. элементарной геометрии и теперь лежат «Начала» Евклида. Это сочинение до 19 в. в неизмененном виде служило даже учебником элементарной геометрии. Оно было переработано Лежандром, «Начала» которого до сих пор служат типом основного руководства по геометрии. Хотя в «Началах» Евклида и преобладает логическая обработка геометрии, но Евклид пользуется и геометрической интуицией для рассуждений арифметического характера (VII книга «Начал»), а вскоре после него Архимед углубил геометрические методы, широко применив их к измерению (метрика), к разысканию центров тяжести геометрических тел, к механике, особенно к гидростатике и даже к физике (катоптрика). Геометрии Евклида и Архимеда, в общем, вполне хватало для разрешения практических задач того времени, и открытие конических сечений, сделанное, по-видимому, Менехмом, было скорее результатом любознательности, чем практической необходимости. Теория конических сечений, позже послужившая базой небесной механики, очень занимала древних геометров, и Аполлоний имел уже возможность составить целый трактат, посвященный этим замечательным кривым. Сочинение Аполлония, по существу, содержит уже методы аналитической геометрии. Таким образом, современная элементарная геометрия, со включением конических сечений и отдельных более сложных кривых (циссоида, конхоида, спирали и др.), - это тот геометрический материал, который перешел к нам от классической древности. В средние века внимание геометров было сосредоточено на переработке «Начал» Евклида в смысле уточнения его логических рассуждений.

С 17 в., с первыми шагами в создании механики, к геометрии были предъявлены новые запросы. И у Ферма и у Декарта руководящие идеи аналитической геометрии возникли на почве исследований теоретического характера. Но задачи, поставленные Ньютоном, привели к такому развитию аналитической геометрии, которое сделало ее основным орудием механики. На долгий период синтетическая геометрия уступила место аналитической или, по крайней мере, выдвинула ее на первый план. Но одновременно уже зарождались идеи, которые в разных направлениях раздвигали рамки синтетической геометрии. Это шло непосредственно от запросов техники. Леонардо да-Винчи, по-видимому, первый поставил задачу о точных методах изображения архитектурных сооружений; изобразительные искусства нуждались в теории перспективы; построение машин требовало умения точно их проектировать в целом и в частях. Французский архитектор и инженер Дезарг (Desargues, 1593—1662 г.) дал прочные основания для решения этих задач.

Выпущенное им в 1636 г. сочинение о центральной проекции легло в основу двух родственных между собой дисциплин - начертательной геометрии и проективной геометрии, возродивших синтетические методы классической геометрии. В течение 17 и 18 вв. эти дисциплины развивались медленно, но в 19 в. они получили очень широкое развитие. Три имени играют здесь решающую роль: Монж, Гаусс и Понсле. Идеи Дезарга, развитые Карно, претворились у Монжа в цельную дисциплину - в теорию графического изображения пространственных объектов на плоскости; начертательная геометрия Монжа остается по настоящее время основой изобразительной геометрией, основным методом проектирования в архитектуре и технике. Но и первый систематический трактат по дифференциальной геометрии принадлежит Монжу; по его схеме и до сих пор строятся элементарные курсы дифференциальной геометрии в высших школах - и это с большим запозданием, т. к. Гауссом дано дифференциальной геометрии новое направление, получившее в настоящее время преобладающее значение. Впрочем, проекционные методы Дезарга и Монжа, возникшие, как и элементарная геометрия, на почве чисто практических задач, также получили теоретическую разработку. Понсле, Штейнер и Штаут построили систему синтетической геометрии, устранив из нее все вопросы метрики (т. е. все, что относится к измерению и получает выражение в арифметической форме - в числах); они создали, т. о., проективную геометрию, или геометрию положения, оперирующую только рядами точек, прямых и плоскостей в их коинциденции (расположении точек на прямых, прямых - на плоскостях, и т. п.) и пересечении. Т. о., сложились четыре основные ветви современной геометрии: 1) элементарная синтетическая геометрия, т. е. геометрия Евклида, 2) ее непосредственное развитие - высшая синтетическая геометрия, т. е. проективная геометрия с примыкающими к ней дисциплинами (начертательной геометрии и теорией перспективы), 3) алгебраическая геометрия, т. е. аналитическая геометрия, оперирующая средствами алгебры, и 4) дифференциальная геометрия, т. е. аналитическая геометрия, оперирующая средствами исчисления бесконечно малых. Все эти геометрические дисциплины сделались совершенно необходимым орудием современного естествознания и техники. Первые две ветви геометрии - синтетическая геометрия в ее различных формах - всегда оперируют непосредственно геометрическими образами путем геометрических построений, т. е. путем соединения различных образов в более сложные фигуры. Другие ветви геометрии - аналитическая геометрия в различных ее формах - ведут исследование методами алгебры и анализа бесконечно малых, т. е. путем производства алгебраических и инфинитезимальных операций. Но эти операции делаются над числами, и для производства при их помощи геометрических исследований необходимо геометрические образы выразить в числах, т. е. в координатах. Каждая система исследования имеет свои преимущества, но и свои большие неудобства. Вследствие этого в последние годы построены новые дисциплины, составляющие синтез обоих методов: они производят те же алгебраические и инфинитезимальные операции непосредственно над геометрическими объектами. В векторном анализе этими объектами служат направленные прямолинейные отрезки - векторы, а в тензорном анализе - более сложные геометрические объекты.

В 19 в. расширение математических методов потребовало углубленного изучения их основ. В связи с этим возникли и теоретические вопросы, связанные с логическим обоснованием геометрии. Относящиеся сюда исследования привели, с одной стороны, можно сказать, к совершенной системе синтетической геометрии, а с другой стороны - к новым воззрениям на сущность и значение геометрических аксиом. Толчком к этому послужило сделанное Лобачевским открытие неевклидовой геометрии (1826 г.). Среди аксиом Евклида особое внимание математиков привлекала аксиома о параллельных линиях (ее можно формулировать так: через данную точку к данной прямой на плоскости можно провести одну, и только одну, прямую, ее не встречающую). Это обусловливалось тем, что аксиома о параллельных казалась менее очевидной, чем остальные. Было предпринято много безуспешных попыток доказать ее, основываясь на остальных аксиомах. Между тем, если откинуть из планиметрии аксиому о параллельных линиях и все те теоремы, доказательство которых на этой аксиоме основано, и взять вместо нее другую (например: к данной прямой через одну точку можно в определяемой ими плоскости провести больше одной прямой, не пересекающей данной), то получится все же совершенно стройная система геометрии, во многом существенно отличающаяся от евклидовой. Примером такого отличия может служить теорема о сумме углов треугольника: в геометрии Евклида эта сумма равна 2d, в геометрии Лобачевского она меньше 2d. Существование наряду с евклидовой геометрией логически стройной неевклидовой геометрии показало, что евклидова аксиома о параллельных является независимой аксиомой, т. е. не м. б. логически выведена из других аксиом евклидовой геометрии, и поэтому попытки ее доказательства неизбежно обречены на неудачу. Позднее были построены и многообразные др. геометрические системы. Т. о., система аксиом, определяющих евклидову геометрию, не является единственно возможной. Выводы, вытекающие отсюда относительно происхождения и значения аксиом, принадлежат уже к области философии и гл. обр. теории познания. Изучение аксиом, лежащих в основе той или другой геометрии, их непротиворечивости и независимости называется аксиоматикой, или основаниями геометрии. Эта часть геометрии создана и развилась за последние 50 лет. Особого внимания заслуживают свойства пространства, выраженные аксиомами, не связанными с измерением. Эти свойства и аксиомы являются общими для евклидовой и неевклидовой геометрии. Примером может служить аксиома: через каждые 2 точки проходит единственная прямая. Эти аксиомы и лежат в основе геометрии, не зависящей от измерения - проективной геометрии. Таким образом, геометрия играет в современной науке чрезвычайно важную роль, как с точки зрения практических ее приложений, так и с точки зрения теоретических идей, которые она с собой принесла.

 

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 5 - 1929 г.