Геодезические треугольники

Геодезические треугольники

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ, треугольники, на которые разбивается подлежащая съемке часть поверхности земного эллипсоида при больших триангуляциях. Углы в таких треугольниках образуются между нормальными сечениями, а сторонами являются геодезические линии, проведенные, вместо двойственных нормальных сечений, через вершины треугольников (см. Геодезическая задача). Длина геодезической линии ничтожно мало отличается от длины нормального сечения (на 1000 км - 0,02 мм), и поэтому только в чисто научных вычислениях вводится длина геодезия, линии вместо длины нормального сечения. Что касается углов между нормальными сечениями и геодезическими линиями и азимутов прямых нормальных сечений, то эти углы следует несколько исправлять. Т. о., между геодезическими сторонами треугольника образуются сфероидические углы, при помощи которых можно решить сфероидический треугольник. Однако это решение представляет известные трудности, почему является стремление упростить задачу, сведя ее к решению сферического или плоского треугольника. Лежандр показал, что сферические треугольники с малыми сторонами, сравнительно с радиусом сферы, можно решать, как плоские, уменьшив все углы на одну треть сферического избытка и взяв те же длины сторон. Открытие этой теоремы необычайно упростило решение сферических треугольников.

Точно также и для сфероидических треугольников с небольшими, сравнительно с осями, сторонами Лежандр и другие ученые считают возможным заменить решение их решением плоских треугольников, в которых стороны - геодезические линии, а углы - сфероидические углы; при этом необходимо введение трех поправок: 1) на сфероидический избыток, 2) на кривизну сфероида в вершинах треугольника и 3) на влияние на величину угла разности длин сторон. Вопрос сводится к нахождению плоских углов А', В', С' вместо сфероидических А, В и С. Необходимо ввести следующие обозначения:

Геодезические треугольники - уравнение меры кривизны

- уравнение меры кривизны; а, b и с - стороны геодезического и плоского треугольников;

Геодезические треугольники - среднее арифметическое из квадратов сторон треугольников

- среднее арифметическое из квадратов сторон треугольников; ε - сфероидический избыток над 180° в углах геодезического треугольника; К=, КВ, КС - меры кривизны в вершинах сфероидического треугольника;

Геодезические треугольники - средняя кривизна треугольника

- средняя кривизна треугольника и ϕ - широта.

Геодезические треугольники

Геодезические треугольники

Последние два члена при треугольниках со сравнительно большими сторонами (например, при определении длины дуги меридиана) еще имеют некоторое значение, но при треугольниках, непосредственно наблюдаемых в натуре (30—200 км), значение их ничтожно и не выходит за пределы точности измерений.

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 5 - 1929 г.