Геодезические координаты

Геодезические координаты

ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ. Геодезические координаты на правильном эллипсоиде должны равняться географическим координатам; вычисляются они при помощи тригонометрической сети, в которой д. б. измерены и вычислены все стороны, углы и азимуты (см. Геодезическая задача). Координаты начальной точки берутся из примыкающей триангуляции, ранее вычисленной, или же из астрономических наблюдений. Но т. к. поверхность земли не есть правильная поверхность эллипсоида, то практически геодезические и географические координаты отличаются друг от друга иногда на десятки угловых секунд. Кратчайшая кривая, которая м. б. проведена на какой-либо поверхности между двумя точками, называется геодезической линией. Главное свойство геодезической линии (которое можно рассматривать и как основное ее определение): соприкасающаяся с геодезической линией плоскость в каждой точке проходит через нормаль к поверхности, т. е. направления нормали к поверхности и главной нормали к геодезической линии всюду совпадают. Для геодезической линии существует уравнение, которое выводится из уравнения поверхности.

Если уравнение поверхности U(х, у, z)=0, то дифференциальное уравнение геодезической линии:

Дифференциальное уравнение геодезической линии

Для поверхности вращения получается уравнение: r∙sin α = Const. Т. к. радиус параллели r на эллипсоиде вращения равняется a∙cos u, где а - большая полуось и u - приведенная широта параллели, то из предыдущего уравнения получается a∙cos u∙sin α = Const. Эти оба уравнения указывают на особенность в движении по эллипсоиду геодезической линии. Для двух точек эллипсоида существует, следовательно, уравнение:

Уравнение для двух точек эллипсоида

Если на шаре радиуса а составить сферический треугольник так, чтобы две дуги соответственно равнялись 90°—u и 90°—u' и один угол был равен α, то окажется, что все точки данного сфероидического треугольника м. б. перенесены на сферу радиуса а, так что Геодезические линии обратятся в круги, широты на сфере будут равны приведенным широтам на сфероиде, и азимуты геодезических линий сохранят свои величины.

Течение геодезической линии, выражаемое уравнением r∙sin α=Const, имеет свои особенности. Так, если азимут α геодезической линии равен 0 или 180°, то она для всех широт будет совпадать с меридианом; если геодезическая линия началась на экваторе под азимутом 90°, то она совпадает с экватором. Если взять общий случай, когда геодезическая линия выходит из произвольной точки на северной половине сфероида, под произвольным азимутом между 0 и 90°, то для постоянства выражения r∙sin α, при уменьшении к северу радиуса параллели r, должен увеличиваться sin α, следовательно, и азимут α; когда последний достигнет 90°, то r получит наименьшее значение, и дальше r начнет увеличиваться, a sin α - уменьшаться; так будет до экватора, где r станет наибольшим, sin α - наименьшим и α - наибольшим; далее геодезическая линия перейдет в южную половину сфероида, и т. д.

По отношению к нормальным сечениям геодезическая линия располагается почти всегда между ними, но на меридиане (азимут=0°) и на экваторе (азимут=90°) совпадает с ними. Между прямым и обратным нормальными сечениями двух точек составляется некоторый угол, определяемый формулой:

Geodez koordinaty 3

где s - длина линии, R - радиус кривизны, е - эксцентриситет, α - азимут, ϕ - широта. Геодезическая линия, проходя между нормальными сечениями, разделяет этот угол δ на неравные части так, что между одним нормальным сечением и геодезической линией составляется угол в 2/3δ, а между другим сечением - в 1/3δ. В виду того, что разность между длиной геодезической линии и нормальными сечениями ничтожно мала (на 1000 км всего 0,00002 м), можно нормальные сечения по длине считать равными геодезической линии, а для угловых вычислений необходимо азимуты (прямые) нормальных сечений изменять на величину в 1/3δ; впрочем, и эти поправки сколько-нибудь ощутительны только на очень больших расстояниях (на 100 км – 0,1").

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 5 - 1929 г.