Геодезическая задача

Геодезическая задача

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА, определение обратного азимута и координат конечной точки по координатам начальной точки, азимуту и длине линии, выходящей из этой точки (прямая геодезическая задача), и определение длины, а также прямого и обратного азимутов линии по координатам ее конечных точек (обратная геодезическая задача). Первая задача: по координатам х1 и у1, длине линии d и азимуту α - координаты конца линии х2 и у2 выражаются следующим образом:

Geodez zadatha 1

Вторая задача: по координатам концов линии х1, у1 и х2, у2 - длина d и азимут α определяются из формул:

Geodez zadatha 2

Значительно сложнее решение геодезической задачи для линий и точек на сфероиде; громоздкие формулы сфероидической тригонометрии практически почти не применимы. Нужно указать, что некоторую часть поверхности земного сфероида можно принять за плоскость и геодезическую задачу решать по правилам плоской тригонометрии (см. выше); действительно, в круге радиуса около 7 км линии и углы на сфероиде настолько мало отличаются от линий и углов, перенесенных на касательную в средней точке сфероида плоскость, что эти различия не улавливаются даже при самых точных измерениях; если величины линий превышают эти размеры, то приходится считаться с геометрическими особенностями сфероида (эллипсоид вращения).

Известно, что все геодезические измерения горизонтальных углов производятся между вертикальными нормальными плоскостями. Это означает, что визирная плоскость из А в В проходит через линию отвеса (нормаль) в точке А и оставляет на поверхности сфероида некоторый след в виде дуги сфероида; если точка В не находится на одной широте с А, то направление линии тяжести в В будет иное, и плоскость визирования из А в В не будет вмещать линию отвеса В, и, обратно, плоскость визирования из В не будет вмещать линию отвеса в А, а оба эти визирования образуют на поверхности эллипсоида две дуги, не совпадающие между собой, сходящиеся в точках А и В и составляющие некоторый угол. Наибольшее значение этого угла выражается формулой:

Geodez zadatha 3

здесь S - длина линии и а - большая полуось земли (примерно, 6377 км). Величина этого угла вообще очень незначительна и для линии в 100 км не превосходит 0,1''. Большие удобства представляет замена сфероидического нормального сечения дугой шара радиуса кривизны первого вертикала; соотношение между ними выражается формулой:

Geodez zadatha 4

где S - дуга сфероида, σ - дуга шара радиуса, равного единице, ϱ2 - радиус кривизны первого вертикала, е - эксцентриситет сфероида, ϕ - широта, α - азимут. Значит, разность между дугой сфероида и дугой шара выражается малой величиной пятого порядка, наибольшее значение которой будет при ϕ = 0° и α = 0°; тогда

Geodez zadatha 5

Если принять большую полуось а = 6377 км, е = 1:12, σ = 2π/360, т. е. дуге в 1°, соответствующей на земной поверхности, примерно, 112 км, то

Geodez zadatha 6

или 4 см, что дает относительную разность на 112 км в виде отношения 1:3000000, вполне удовлетворяющей требованиям самых точных геодезических работ. Если желательно не выходить за пределы точности в 1:1000000, то следует ограничиваться дугами не более 192 км, или, округляя число, 200 км. Практически возможна замена радиуса кривизны первого вертикала средним радиусом кривизны, что вызывает ничтожные поправки в приведенных выше формулах. Во всяком случае, линии на земной сфероидической поверхности до 100 км, без ущерба для точности дела, можно трактовать как дуги шара, т. е. сфероидические треугольники трактовать как сферические, решая их по правилам сферической тригонометрии; дальнейшее упрощение вычислений основано на теореме Лежандра: если на углы сферического треугольника распределить эксцесс поровну, то такой треугольник можно решать, как плоский, т. к. вычисленные т. о. стороны будут равняться сторонам данного сферического треугольника. Здесь эксцесс вычисляется по формуле:

Geodez zadatha 7

где Р - площадь сферического треугольника и R - радиус шара. При вычислении больших линий, свыше 100 км, и при самых точных вычислениях нельзя сфероидические дуги заменять сферическими, и приходится иметь дело или с нормальными сечениями, что неудобно в виду их двойственности, или с геодезическими линиями. Итак, для решения геодезической задачи, прежде всего, следует установить, с какими линиями приходится вести вычисления, и только после этого можно будет искать соответствующее решение; вследствие условности геодезической задачи предложено много решений ее различными авторами (Бессель, Гаусс, Кларк и др.); каждое из решений основывается на каком-нибудь допущении.

Способ Бесселя основан на принятии геодезической линии и на перенесении вычислений со сфероида на шар радиуса а (а - большая полуось сфероида). Путем сличения сферического треугольника со сфероидическим все точки сфероида переносят на сферу радиуса а, так что геодезические линии обращаются в дуги кругов, широты изображений точек на сфере будут равны приведенным широтам на сфероиде, азимуты геодезических линий сохраняют свои величины. Остается выяснить соотношения: 1) между длиной геодезической линии S и длиной соответствующей дуги на шаре δ и 2) между разностью долгот на сфероиде λ и соответствующим углом w на шаре. Первое соотношение выражается формулой:

Geodez zadatha 8

а второе

Geodez zadatha 9

здесь а - большая полуось, е - эксцентриситет, u - приведенная широта. Эти два дифференциальных уравнения и служат основными для решения геодезической задачи по способу Бесселя; решаются они интегрированием и разложением подынтегральных функций в ряд по восходящим степеням величины е. В этих рядах можно ограничиваться различным количеством членов в зависимости от той точности, с которой требуется произвести вычисления в каждом отдельном случае. Значения вспомогательных величин даются в особых таблицах. В СССР находят применение формулы Шрейбера. Военно-топографическим отделом в 1902 г. изданы «Таблицы для вычисления широт, долгот и азимутов тригонометрических точек на эллипсоиде Бесселя» по формулам Шрейбера. По формулам Шрейбера широты и разность долгот линий до 100 км могут быть получены с точностью до 0,001", а азимуты - с точностью до 0,01", поэтому при пользовании этими формулами необходимо применять семизначные логарифмы и производить интерполирование. Нельзя не указать на существование формул Гаусса, по которым широты и азимуты получаются путем последовательных приближений, а разность долгот - непосредственно.

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 5 - 1929 г.