Гармонический анализ

Гармонический анализ

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, разложение сложных периодических кривых на простые гармонические. Согласно теореме Фурье, всякую сложную периодическую функцию с периодом Т можно разложить на конечное или бесконечно большое число простых периодических функций с периодами Т, 1/2T, 1/3T, 1/4Т и т. д. Эти простые периодические функции являются синусоидальными функциями и называются простыми гармоническими. Простым преобразованием период Т можно привести к 2π; тогда можем представить теорему Фурье в следующем виде:

Garm analiz 1

Коэффициенты А и В представляются в виде

Garm analiz 2

Эти коэффициенты называются амплитудами соответствующих простых гармонических функций. В задачи гармонического анализа данной сложной периодической функции входит определение амплитуд и фаз простых гармонических функций, составляющих данную сложную функцию, или, выражаясь аналитически, определение коэффициентов, дающих возможность представить данную сложную периодическую функцию в виде ряда Фурье. Гармонический анализ заключается, поэтому, в определении вышеуказанных двух интегралов. Математические приборы, при помощи которых производится гармонический анализ, являются т. о. интеграторами, определяющими интегралы указанной формы.

Гармонический анализ необходим для чрезвычайно большого числа практических исследований в технике и вообще в науке. Все периодические движения, все колебательные и вибрационные явления требуют для своего изучения гармонический анализ. Огромное количество явлений физических (акустических, электрических и др.), механических, метеорологических (определение периодичности изменения температуры и давления воздуха) и даже физиологических (биение сердца и т. п.) может быть полностью уяснено только при помощи гармонического анализа.

Существует целый ряд математических приборов, т. н. гармонических анализаторов. Из них наиболее распространенным является анализатор Генричи-Коради (Неnrici-Coradi). Рамка RR (фиг. 1), покоящаяся на трех роликах Е, Е и D, устанавливается на плоскости ty так, чтобы ось ЕЕ была параллельна оси t.

Гармонический анализатор Генричи-Коради (Неnrici-Coradi)

Тележка W со штифтом F свободно скользит по раме анализатора параллельно оси, в то время как штифтом F обводится вычерченная в прямоугольных координатах (t, y) периодическая кривая. Рама RR передвигается при этом параллельно оси у, оставаясь неподвижной, в направлении t. Движение тележки W пропорционально т. о. dt, движение рамы RR - пропорционально dy. Движение тележки W, ограниченное полным периодом 2π данной периодической кривой, передается (при помощи серебряного канатика и роликов) шайбе Н со шпинделем S, совершающим n оборотов при прохождении тележкой W полного периода данной кривой. Шпиндель S закреплен в интеграторе KLMN, несущем два измерительных колеса R1, R2, оси которых расположены перпендикулярно друг к другу. При прохождении тележкой расстояния t интегратор вращается т. о. на угол γ = nt. Движение рамы, пропорциональное dy = df(t), передается цилиндрической шайбе С, закрепленной на оси ЕЕ. Эта шайба соприкасается с находящимся над ней стеклянным шаром G и вращает последний вокруг его оси, параллельной оси t. Соприкасаясь с измерительными колесами R1 и R2, шар G придает им соответственное вращение, определяемое для R1 величиной, пропорциональной sin nt dy, и для R2 - величиной, пропорциональной cos nt dy. Когда весь период 2π данной кривой будет обведен штифтом F, показания колес R1 и R2 будут пропорциональны величинам Garm analiz 4 и Garm analiz 5 другими словами, показания измерительных колес R1 и R2 будут равны:

Garm analiz 6

p1 и р2 являются константами, зависящими от размеров прибора; обыкновенно принимают:

Garm analiz 7

Тогда показания прибора непосредственно равны амплитудам соответствующих простых гармоник n-го порядка данной сложной периодической кривой, т. е. Аn = a1/n и Вn = a2/n.

Анализаторы Генричи-Коради делаются обыкновенно с несколькими интеграторами для одновременного определения составляющих гармоник 1-го, 2-го, 3-го и т. д. порядков. Из других известных систем гармонических анализаторов необходимо отметить анализаторы Мадера, Михельсона, Томсона (лорда Кельвина).

Анализатор, сконструированный Л. К. Мартенсом (фиг. 2), отличается тем, что с его помощью непосредственно определяются не коэффициенты ряда Фурье, а амплитуды тех простых гармонических колебательных движений, которые могут возникнуть под влиянием сил, изменяющихся по закону данной сложной периодической кривой.

Гармонический анализатор, сконструированный Л. К. Мартенсом

На стержне Б насажено свободно вращающееся на шариках колесо М, катящееся по бумаге, на которой вычерчена в полярных координатах анализируемая периодическая кривая. В центре этих координат закрепляется при помощи кнопок кольцеобразная шайба, служащая центром вращения для линейки Е с делениями и для стойки, в которой скользит в радиальном направлении стержень Б. Колесо М ведется по бумаге так, чтобы указатель К обводил анализируемую кривую точкой пересечения креста, нанесенного на стеклышке указателя. Стержень Б при этом не вращается, но имеет возможность скользить в радиальном направлении в центральной стойке. На цилиндрической части колеса М нанесены деления, дающие в результате анализа амплитуды соответствующих составляющих гармоник колебательных движений в мм. Для разделения периода исследуемой кривой на необходимое для отыскания соответствующих гармоник число частей употребляется небольшое зубчатое колесо Д на стержне Г. Вставляя последний в центральную стойку вместо стержня Б, обкатывают колесом Д весь период исследуемой кривой на различных расстояниях от центра координат, причем под колесо Д подкладывается копировальная бумага, оставляющая на чертеже мелкие деления, позволяющие разделить период исследуемой кривой на любое количество равных частей. На фиг. 2 показано разделение периода кривой 1—19 на 18 равных частей для отыскания амплитуды синусоиды 9-го порядка. Соответствующие деления колеса Д видны на дуге АВ. Определение этой амплитуды производится след. обр. Данную кривую обводят указателем К слева направо частями 1—2, 3—4, 5—6, 7—8, ..., 17—18, причем на интервалах 2—3, 4—5 и т. д. указатель К вместе с колесом М приподнимают над бумагой. После этого уже в обратном направлении, т. е. справа налево, указателем обводят участки кривой 19—18, 17—16, 15—14, ..., 3—2, пропуская участки 18—17, 16—15 и т. д. Когда указатель будет после этого находиться в точке 2, отсчитываемое на колесе М деление дает амплитуду синусоиды колебательного движения 9-го порядка. Обозначая синусоиду n-го порядка через Рn и косинусоиду этого же порядка через Р'n, получим коэффициенты ряда Фурье данной периодической кривой.

Garm analiz 9

Существует еще несколько способов гармонического анализа без помощи приборов, подобных описанным. Из этих способов можно назвать способ вычисления искомых гармоник при помощи таблиц Поллака, шаблонов Ципперера и др. Не отличаясь большой точностью, эти способы при некотором навыке дают возможность производить гармонический анализ в довольно широких пределах.

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 5 - 1929 г.