Брахистохрона

б

БРАХИСТОХРОНА, кривая быстрейшего спуска, относится к вопросу механики о движении материальной точки по данной линии под действием силы тяжести. Между двумя точками А и В, находящимися на различной высоте над горизонтом, можно представить себе бесчисленное множество различных линий, по которым материальная точка, принужденная оставаться на такой линии, может совершать свой переход из верхнего положения в нижнее под действием силы тяжести. Время этого движения зависит от разности высот, начальной скорости и вида заданной линии. Брахистохроной называется та из линий, соединяющих точки А и В, по которой движение совершается при той же начальной скорости в кратчайший промежуток времени.

Такой линией оказывается циклоида, которая лежит в вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В, описана точкой катящейся по горизонтальной прямой окружности, обращена выпуклостью книзу и имеет в точке В горизонтальную касательную (см. фиг.).

Брахистохрона

Задача о брахистохроне относится к вариационному исчислению. По закону живой силы, скорость материальной точки независимо от вида пути определяется формулой:

Задача о брахистохроне относится к вариационному исчислению

где у - высота падения в какой-нибудь момент времени t, v0 - начальная скорость в точке А, g - ускорение силы тяжести. Обозначая через Т время всего движения из А в В, по формуле v = ds/dt находим:

Задача о брахистохроне относится к вариационному исчислению

где интегрирование распространено на длину пути между точками А и В и уравнение кривой рассматривается как зависимость между s и у. Эта зависимость д. б. найдена такой, чтобы интеграл для Т был минимум. Задача о брахистохроне может быть обобщена: 1) в том смысле, что вместо силы тяжести предполагается действующею какая-либо другая сила, имеющая потенциал; 2) тем, что брахистохрона предполагается лежащей на заданной поверхности.

Первое решение вопроса о брахистохроне для силы тяжести принадлежит Лейбницу и Якову Бернулли. Эта задача совпадает также с задачей о кратчайшем времени прохождения света через среду, плотность которой возрастает по тому же закону, как скорость падающей материальной точки. В таком виде задача эта была решена Иоганном Бернулли.

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 2 - 1928 г.

Избранное