Бином Ньютона

б

БИНОМ НЬЮТОНА, одна из важнейших формул в математике, имеющая целью выразить степень суммы двух количеств через степени этих количеств. В простейшем случае - целого положительного показателя формула бинома Ньютона имеет вид:

binom nutona 1

где

binom nutona 2

есть число сочетаний из n элементов по k; для чисел binom nutona 3 называемых биномиальными коэффициентами, принято также обозначение binom nutona 4.

Основные свойства биномиальных коэффициентов:

Основные свойства биномиальных коэффициентов

причем в двух последних формулах положено binom nutona 6 Формула бинома Ньютона для целого положительного показателя была известна уже до Ньютона; ему же принадлежит важная заслуга распространения этой формулы на случай показателей дробных и отрицательных. В этих случаях правая часть формулы обращается в бесконечный ряд; прежде всего мы получаем:

binom nutona 7

где по-прежнему

binom nutona 8

Этот бесконечный ряд сходится, когда |x| < 1, и сходится тем быстрее, чем меньше |х|. Если же нужно получить разложение для (a + b)α, то, допуская, что |а| > |b|, пишут:

binom nutona 8 1

и, полагая b/a= х, применяют предыдущее разложение, причем, очевидно, |x| < 1, и, следовательно, получаемый бесконечный ряд является сходящимся. Бином Ньютона дает т. о. возможность приближенно вычислить многие иррациональные выражения, содержащие радикалы, в особенности выражения вида binom nutona 9

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 2 - 1928 г.