Бесселевы функции

Бессель

БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ, неограниченная последовательность функций I0(х), I1(х), I2(x), ... ,Iр(х), ... определенной конструкции, причем любая функция разлагается в бесконечный ряд так, что

Бесселевы функции

Как известно, Фурье указал разложение функций в тригонометрические ряды и воспользовался последними для составления интегралов дифференциальных уравнений теории упругости и теплопроводности. Однако уже Фурье убедился, что в более сложных случаях для разложения интегралов необходимо пользоваться другими функциями и, в сущности, нашел наиболее простую из Бесселевых функций. Интегрируя уравнение Лапласа (в теории возмущения планетных движений) в кругово-цилиндрических координатах, Бессель пришел (1816) для разыскания одной из составных частей интеграла к обыкновенному дифференциальному уравнению 2-го порядка:

Бесселевы функции

и для интегрирования этого уравнения ввел функции, которые и получили название Бесселевых функций, или цилиндрических функций. Позднее эти функции получили широкое применение во всех прикладных дисциплинах и в настоящее время особенно часто встречаются в расчетах теории упругости, при исследовании скалярных и векторных полей по большей части при наличии осевой симметрии, а также при расчетах электрического тока в проводах.

Руководясь исключительно соображениями возможного упрощения задачи, Бессель ограничился тем случаем, когда p (в уравнении 2) есть целое положительное число. В этом предположении Бесселево уравнение (2) имеет только один частный интеграл (не считая постоянного множителя), сохраняющий при х = 0 конечное значение. Этот интеграл выражается рядом:

Бесселевы функции

где Г(k) = k!

Он сходится для всех как вещественных, так н мнимых значений х и т. о. определяет целую аналитическую функцию, т. н. Бесселеву функцию р-го порядка. При р = 0 тот же ряд [Г(0) = 1] дает простейшую Бесселеву функцию I0(х) или просто I(х), которая встречается чаще всего; вследствие этого ее часто называют просто Бесселевой функцией. Она таким образом удовлетворяет уравнению

Бесселевы функции

и очень просто выражается определенным интегралом:

Бесселевы функции

Из этой простейшей Бесселевой функции могут быть получены все Бесселевы функции высших порядков путем рекуррентной зависимости:

Бесселевы функции

Тому же дифференциальному уравнению (4) удовлетворяет также функция, выражающаяся определенным интегралом:

Бесселевы функции

Это простейшая Бесселева функция второго рода, из которой получаются Бесселевы функции второго рода высших порядков при помощи того же рекуррентного соотношения (6). При помощи функций In(х) осуществляется разложение ряда (1), коэффициенты которого выражаются в определенных интегралах.

Начиная с Ломмеля (1868), стали изучать Бесселевы функции, соответствующие не только целым, но и любым вещественным и даже мнимым значениям параметра р. Соответствующая Бесселева функция Iр(х) выражается тем же рядом (3), в котором Г(p+k) есть значение Эйлеровой функции Г(x) при х = р + k. Однако эти функции имеют преимущественно только теоретический интерес.

В виду большой важности Бесселевых функций для целого ряда практических вычислений составлены подробные таблицы, дающие значения Бесселевых функций для действительных и комплексных значений аргумента, значения корней этих функций, их графики и т. д. При пользовании этими таблицами вычисления с этими функциями не представляют затруднений.

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 2 - 1928 г.