Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, отрасль математики, занимающаяся геометрическими исследованиями при помощи методов алгебры и анализа. Аналитическая геометрия основана на определении положения точек в пространстве при помощи чисел, называемых координатами. На плоскости выбирают неподвижную точку О и две пересекающиеся прямые ОХ и OY (координатные оси) (фиг. 1). Положение любой точки Р на плоскости определится, если разложить отрезок ОР на два составляющих отрезка OQ и QP, параллельных координатным осям, или OR и RP. Число х, выражающее длину отрезка OQ, называется абсциссой точки Р, а число у, выражающее длину отрезка QP, называется ординатой той же точки.

Координаты на плоскости

Числа х и у считаются положительными, если отрезки OQ и QP направлены в те же стороны, что и соответствующие оси ОХ и OY, и отрицательными, если они обращены соответственно в противоположную сторону. При этих соглашениях каждой точке на плоскости отвечают вполне определенные значения абсциссы x и ординаты у и обратно, каждой паре значений х и у отвечает одна точка на плоскости. Абсциссы и ординаты носят общее название координат точки Р.

Обычно угол между координатными осями берется прямой, тогда составляющие ОQ и QP вектора ОР являются его прямоугольными проекциями (ортогональные координаты). Этот способ координации (определения положения точки) был указан Декартом (1637 г.), и поэтому сами координаты носят название декартовых.

Можно определять положение точки Р на плоскости также и при помощи полярных координат, указывая длину отрезка ОР = r и угол θ между осью ОХ и вектором ОР.

Положение точки Р в пространстве определяется при помощи трех чисел. Через точку О проводят три непараллельных одной плоскости прямых OX, OY, OZ и разлагают ОР на составляющие, параллельные этим прямым (фиг. 2).

Координаты в пространстве

Здесь каждой координате также присваивается знак в зависимости от того, совпадает ли составляющий отрезок с направлением соответствующей координатной оси или же имеет противоположное направление. Положительные или отрицательные числа, равные этим составляющим, обозначаются обыкновенно буквами х, у,z и называются координатами точки Р в пространстве. Чаще всего берут три взаимно перпендикулярные оси OX, OY и OZ. Тогда составляющие радиуса-вектора ОР становятся равными прямоугольным проекциям его на координатные оси, а соответствующие числа х, у, z называются прямоугольными координатами точки Р или радиуса-вектора ОР.

Положение точки Р в пространстве м. б. определено и другими координатами. Можно, например, построить сферу с центром в О, проходящую через точку Р, и выбрать на этой сфере экватор и начальный меридиан. Тогда сферическими координатами точки Р называют три числа: радиус сферы, широту и долготу точки Р. Число координат, необходимых для полного определения положения точки Р, равно числу измерений рассматриваемого пространства. Для исследования геометрических свойств различных фигур в пространстве и их взаимного расположения надо выразить эти свойства при помощи уравнений, связывающих между собой координаты точек, принадлежащих этим фигурам. Например координаты всех точек сферы с центром в О удовлетворяют уравнению x2 + y2 + z2 = R2 (где R - радиус сферы), ибо квадрат радиуса-вектора равен сумме квадратов его проекций. В общем виде уравнение f(x, y, z) = 0 выражает некоторую поверхность. На плоскости можно предположить z = 0; тогда уравнение f(x, у) = 0 выражает некоторую линию, т. к. это уравнение м. б. решено относительно одной из координат: у = ϕ(x), причем каждому значению х соответствует одно или несколько значений у, а следовательно, - определенные точки на плоскости. Обратно, каждая кривая может быть выражена уравнением между координатами ее точек.

Целый ряд геометрических задач м. б. разрешен при помощи алгебраических вычислений. Например, если даны две кривые в уравнениях

f(x, у) = 0 и F(x, у) = 0,

то для нахождения точек пересечения этих кривых достаточно решить совместно эти два уравнения. Полученные значения координат x и у будут координатами точек пересечения. Во многих задачах целесообразно не определять радиусы-векторы  различных точек при помощи координат, а вести вычисления непосредственно над радиусами-векторами этих точек при помощи методов векторной алгебры. Этот метод имеет большие преимущества для исследования линейных фигур, прямых линий, плоскостей и их взаимного расположения.

Методы аналитической геометрии имеют громадное значение для разрешения задач механики и физики.

 

Источник: Мартенс. Техническая энциклопедия. Том 1 - 1927 г.

Избранное